计算题32分专练(一)
24．(12分)如图所示，匝数N＝100、截面积S＝1.0×10－2 m2、电阻r＝0.15 Ω的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场B1，其变化率k＝0.80 T/s。线圈通过开关S连接两根相互平行、间距d＝0.20 m的竖直导轨，下端连接阻值R＝0.50 Ω的电阻。一根阻值也为0.50 Ω、质量m＝1.0×10－2 kg的导体棒ab搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场B2。接通开关S后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。
(1)求磁感应强度B2的大小，并指出磁场方向；
(2)断开开关S后撤去挡条，棒开始下滑，经t＝0.25 s后下降了h＝0.29 m，求此过程棒上产生的热量。
解析： (1)线圈中的感应电动势为：
E＝N＝NS＝NSk
流过导体棒ab的感应电流为：
Iab＝＝
导体棒ab对挡条的压力为零时有：
F安＝B2Iabd＝mg
联立解以上各式得：B2＝0.5 T，方向垂直纸面向外。
(2)断开S撤去挡条，棒下滑h时导体棒ab的速度为v，整个过程电路产生热量为Q，由能量守恒定律得：
mgh＝mv2＋Q，Qab＝Q
整个下滑过程，由动量定理得：
mgt－安＝mv－0
其中安培力平均冲量：安＝B2d·t＝B2qd
下滑h过程通过导体棒的电荷量：
q＝＝
联立解以上各式得：Qab＝2.3×10－3 J。
答案： (1)0.5 T 方向垂直纸面向外 (2)2.3×10－3 J
25．(20分)如图所示，固定在地面上的倾斜直轨道AB与圆弧轨道BC相切于B点，一可视为质点的小球由A点以某一初速度(设为v0)冲上直轨道，经一段时间，小球运动到圆弧轨道最高点C。已知圆弧轨道的半径为R＝0.5 m，小球的质量为m＝0.2 kg；小球由A运动到C的过程中除重力外其他力做的功为－1.4 J，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若小球的初速度大小为v0＝5 m/s，则小球在C点对圆弧轨道的压力为多大？
(2)若小球由A到C的过程中除重力外其他力做的功保持不变，欲使小球能从C点水平抛出，则小球的初速度应满足什么条件？
解析： (1)小球从A点运动到C点的过程中，由动能定理有
－mgR＋W＝mv－mv
在最高点C，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m
联立并代入数据解得FN＝1.6 N
由牛顿第三定律可知，小球在C点对轨道的压力大小为FN′＝FN＝1.6 N。
(2)要使小球能够从C点水平抛出，则小球到达C点的速度要大于零且不脱离圆弧轨道
①若小球恰好能到达C点，设对应的初速度为v1
从A点到C点，由动能定理有－mgR＋W＝0－mv
解得v1＝2 m/s
②若小球恰好不脱离圆轨道，设小球到达C点时速度为vC′，对应的初速度为v2
则在C点，小球对轨道的压力为零，有mg＝m
从A点到C点，由动能定理有－mgR＋W＝mvC′2－mv
解得v2＝ m/s
综上可知，要使小球能够从C点水平抛出，v0的取值范围是2 m/s<v0≤ m/s。
答案： (1)1.6 N (2)2 m/s<v0≤ m/s
