计算题32分专练(二)
24．(12分)(2018·辽宁本溪联考)如图所示，CDE为光滑的轨道，其中ED段是水平的，CD段是竖直平面内的半圆，与ED相切于D点，且半径R＝0.5 m，质量m＝0.1 kg的滑块A静止在水平轨道上，另一质量M＝0.5 kg的滑块B前端装有一轻质弹簧(A、B均可视为质点)以速度v0向左运动并与滑块A发生弹性正碰。若相碰后滑块A滑上半圆轨道并能过最高点C，取重力加速度g＝10 m/s2，问：
(1)B滑块至少要以多大速度向前运动；
(2)如果滑块A恰好能过C点，滑块B与滑块A相碰过程中轻质弹簧的最大弹性势能为多少？
解析： (1)设滑块A过C点时速度为vC，B与A碰撞后，B与A的速度分别为v1、v2，B碰撞前的速度为v0，过圆轨道最高点的临界条件是重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＝m，
由机械能守恒定律得
mv＝mg·2R＋mv，
B与A发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得
Mv0＝Mv1＋mv2，
由机械能守恒定律得
Mv＝Mv＋mv，
联立并代入数据解得v0＝3 m/s。
(2)由于B与A碰撞后，当两者速度相同时有最大弹性势能Ep，设共同速度为v，A、B碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得
Mv0＝(M＋m)v，
由机械能守恒定律得
Mv＝Ep＋(M＋m)v2，
联立并代入数据解得Ep＝0.375 J。
答案： (1)3 m/s (2)0.375 J
25．(20分)(2018·南京三校联考)
如图所示，在xOy平面内，在x>0范围内以x轴为电场和磁场的边界，在x<0范围内以第三象限内的直线OM为电场与磁场的边界，OM与x轴负方向成θ＝45°角，在边界的下方空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T，在边界的上方有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E＝32 N/C。在y轴上的P点有一个不计重力的带电微粒，以沿x轴负方向的初速度v0＝2×103 m/s射出。已知OP＝0.8 cm，微粒所带电荷量q＝－5×10－18 C，质量m＝1×10－24 kg。求：
(1)带电微粒第一次进入电场时的位置坐标。
(2)带电微粒从P点出发到第三次经过电、磁场边界经历的总时间。
(3)带电微粒第四次经过电、磁场边界时的速度大小。
解析：
(1)带电微粒从P点开始在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，第一次经过磁场边界上的A点，由半径公式可得
r＝＝4×10－3 m。
因为OP＝0.8 cm，匀速圆周运动的圆心在OP的中点C，由几何关系可知，A点位置的坐标为(－4×10－3 m，－4×10－3 m)。
(2)带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为
T＝＝1.256×10－5 s。
由图可知，微粒运动四分之一个圆周后竖直向上进入电场，故t1＝T＝0.314×10－5 s。
微粒在电场中先做匀减速直线运动到速度为零，然后反向做匀加速直线运动，微粒运动的加速度为
a＝，
故在电场中运动的时间为t2＝＝＝2.5×10－5 s。
微粒再次进入磁场后又做四分之一圆周运动，故t3＝t1＝0.314×10－5 s，所以微粒从P点出发到第三次经过电、磁场边界的时间为
t＝t1＋t2＋t3＝3.128×10－5 s。
(3)微粒从B点第三次经过电、磁场边界水平向左进入电场后做类平抛运动，则加速度
a＝＝1.6×108 m/s2，
则第四次到达电、磁场边界时，
y＝at，x＝v0t4，tan 45°＝，
解得vy＝at4＝4×103 m/s。
则微粒第四次经过电、磁场边界时的速度为
v＝＝2×103 m/s。
答案： (1)(－4×10－3 m，－4×10－3 m) (2)3.128×10－5 s (3)2×103 m/s
