第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
[课程目标] 1.理解平面向量数量积的含义．
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．
[填一填]
1．两个向量的夹角
(1)给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
(3)当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
当〈a，b〉＝π时，a与b反向；
当〈a，b〉＝或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.
2．向量的数量积(内积)
(1)当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．
(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔a·b＝0.
3．向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量＝a，过A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′、B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．
(2)如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．
4．平面向量的数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥b⇒a·b＝0，且a·b＝0⇒a⊥b；
(3)a·a＝|a|2即|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
[答一答]
1．如何理解平面向量的数量积？
提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．
(2)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
(4)a·b的几何意义是：a的长度与b在a方向上的射影的数量的乘积或b的长度与a在b方向上的射影的数量的乘积．
2．怎样确定两向量数量积的符号？
提示：两向量的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值符号决定．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当a与b同向时，θ＝0°，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；
当a与b垂直时，θ＝90°，cosθ＝0，a·b＝0；
当a与b反向时，θ＝180°，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.
由上可知，a·b>0⇒/ θ为锐角，因为还有可能是θ＝0°；
a·b<0⇒/ θ为钝角，因为还有可能是θ＝180°.
3．向量数量积的各条性质是如何证明的？
提示：(1)①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．
证明：a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉，
e·a＝|e||a|cos〈e，a〉＝|a|cos〈a，e〉，
∴a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．
