第2课时 两角和与差的正切
[课程目标] 1.理解两角和与差的正切公式的推导．
2．掌握公式的正、逆向及变形运用．
3．能够灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明．
[填一填]
1．两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝，(Tα＋β)
tan(α－β)＝.(Tα－β)
2．公式的推导
tan(α＋β)＝＝，
把后面一个分式的分子、分母分别除以cosαcosβ(cosαcosβ≠0)得：tan(α＋β)＝.
以－β代替上式中β可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.
[答一答]
1．运用两角和与差的正切公式时应注意哪些问题，公式有哪些应用？
提示：(1)公式Tα＋β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(2)公式Tα－β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且在从左向右写出等式时，角α，β的位置不要写反．
应用：由Tα＋β，Tα－β可知：(1)已知α，β的正切值可以求α＋β的正切值，实际上在公式中共有3个量：tan(α±β)，tanα，tanβ.因此知二求一．(2)利用公式可以进行求值、化简、证明三角恒等式．(3)特别地，当α＝45°时，tan(45°±θ)＝.
2．两角和与差的正切公式有哪些常见变形？
提示：对于公式tan(α＋β)＝而言，两边都是角的正切，因此，可以有以下一些变形：
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
(2)tanαtanβ＝1－；
(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)当β＝时，tan(α＋β)＝tan＝.
对于公式tan(α－β)＝，也有类似的结论．
类型一 两角和与差的正切公式的直接应用
命题视角1：公式的正用
[例1] 已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan，tan的值．
[分析] 已知sinα的值，求tan用两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做．
[解] 因为sinα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
于是有tan＝＝＝－7.
tan＝＝
＝＝＝.
