8．2.3 倍角公式
[课程目标] 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能运用这些公式进行简单的恒等变换．
[填一填]
1．倍角公式
sin2α＝2sinαcosα，(S2α)
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)
tan2α＝.(T2α)
上面三组公式，称作倍角公式．
2．倍角公式的推导
在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α，得
sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；
cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan(α＋α)＝＝.
即sin2α＝2sinαcosα，简记为S2α；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，简记为C2α；
tan2α＝，简记为T2α.
[答一答]
1．应用倍角公式应注意哪些问题？
提示：(1)在S2α、C2α中，α是任意角．
(2)在T2α中，α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z)时公式成立(因为α＝＋kπ(k∈Z)时，tanα的值不存在；当α＝＋(k∈Z)时，tan2α的值不存在)．当α＝＋kπ(k∈Z)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的．这时求tan2α的值可以利用诱导公式，即tan2α＝tan2＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.
(3)倍角公式是和角公式的特例，且在一般情况下，sin2α≠2sinα，如sin≠2sin，当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα成立，同样，在一般情况下，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
(4)倍角公式不仅可运用于2α是α的2倍角的情况，还可以运用于诸如4α作为2α的2倍，α作为的2倍，3α作为的2倍，α＋β作为的2倍的情况等等．要熟练地利用倍角公式，必须熟悉什么样的两个角成2倍关系，例如：
sin＝2sincos，
cos＝cos2－sin2.
2．倍角公式有哪些方面的应用？
提示：(1)有了二倍角的三角函数公式，就可以用单角的三角函数来表示二倍角的三角函数．
(2)有了二倍角的三角函数公式，可以对某些类似的式子进行化简求值(角)、证明三角函数式．
(3)要熟悉这组公式的逆用．如
sin3αcos3α＝sin6α，
4sincos＝2·＝2sin，
＝tan2α，
cos22α－sin22α＝cos4α.
3．二倍角公式有哪些常见的变形形式？
提示：升幂公式：①1＋cosα＝2cos2，
1－cosα＝2sin2，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
(sinα±cosα)2＝1±sin2α.
