第2课时 积化和差、和差化积公式
[课程目标] 1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程；了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力．
2．掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
[填一填]
1．三角函数的积化和差公式
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
2．积化和差公式的推导
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)，
(Sα＋β)＋(Sα－β)，(Sα＋β)－(Sα－β)，
(Cα＋β)＋(Cα－β)，(Cα＋β)－(Cα－β)，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ，
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ，
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④
公式①②③④叫做积化和差公式．
3．三角函数的和差化积公式
sinx＋siny＝2sincos，
sinx－siny＝2cossin，
cosx＋cosy＝2coscos，
cosx－cosy＝－2sinsin.
4．和差化积公式的推导
在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
把这些值代入积化和差的公式①中，就有
sin·cos
＝
＝(sinθ＋sinφ)．
∴sinθ＋sinφ＝2sin·cos.⑤
同样可得，
sinθ－sinφ＝2cos·sin，⑥
cosθ＋cosφ＝2cos·cos，⑦
cosθ－cosφ＝－2sin·sin.⑧
公式⑤⑥⑦⑧叫做和差化积公式．
