7．2 任意角的三角函数
7．2.1 三角函数的定义
[课程目标] 1.理解并掌握任意角三角函数的定义．
2．理解三角函数是以实数为自变量的函数．
3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．
[填一填]
1．任意角的三角函数
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°.
在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝.
(1)称为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝，定义域为{α|α∈R}；
(2)称为角α的余弦，记作cosα，即cosα＝，定义域为{α|α∈R}；
(3)称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝，定义域为.
这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．
2．三角函数在各个象限的符号
[答一答]
1．如何理解三角函数的定义？
提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．
(2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.，，这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴＝，＝，….
2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负．
三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)．
