7．2.2 单位圆与三角函数线
[课程目标] 1.理解单位圆、有向线段的概念．
2．学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
3．通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间．
[填一填]
1．单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．
2．正弦线、余弦线
如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的余弦线．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线．
3．正切线
如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正弦线．
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
[答一答]
1．对于三角函数线的理解应注意哪些问题？
提示：(1)三角函数线是表示一个角的三角函数值的几何方法，是对任意角的三角函数定义的一种“形”上的补充，它们的大小(即长度)等于角α的三角函数的绝对值，要特别注意它们均有方向．记法：当两个端点都在x轴上时，以原点为起点(余弦线)；当两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点为起点(正弦线、正切线)，三角函数值的正负与轴的方向才相同．
(2)正切线都是过点A(1,0)作圆的切线与角α终边或反向延长线相交所成的有向线段．当角α终边在第一、四象限时，正切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α终边所成的有向线段；当角α终边在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0)作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点所成的有向线段．
(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线||＝1或－1；当角α的终边在y轴上时，正弦线||＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
2．怎样由三角函数值(范围)，利用单位圆中三角函数线确定终边相同的角(范围)?
提示：(1)已知正弦值sinα＝a，因为正弦线是与y轴平行或重合的向量，所以确定的方法是：①在y轴上找出与正弦值对应的一点(0，a)(若正弦值为正，在y轴正半轴上取点，若为负，在y轴负半轴上取点)；②过该点作x轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使sinα＝a的角的终边．若sinα≥a，则平行线上方一段圆弧所对应角的范围为所求，若sinα<a，则平行线下方一段圆弧所对应角的范围为所求(但不包括角的边界)，简述为大上，小下．
(2)已知余弦值cosα＝a，因为余弦线是与x轴重合的向量，所以确定的方法是：①在x轴上找出与余弦值对应的一点(a,0)(若余弦值为正，在x轴正半轴上取点，若为负，在x轴负半轴上取点)；②过该点作y轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使cosα＝a的角的终边．若cosα≥a，则该平行线右侧一段圆弧对应角的范围为所求，若cosα<a，则平行线左侧一段圆弧对应角的范围为所求，简述为大右，小左．
(3)已知正切值tanα＝a，过A(1,0)点作单位圆的切线，在切线上截取AT＝a，过O，T作直线交单位圆于两点A，B，则射线OA，OB为所求的使tanα＝a的角α的终边，对于tanα>a(或tanα≤a)型的不等式，用以后所学习的正切函数图像解决比较方便．
