7．3.5 已知三角函数值求角
[课程目标] 1.会由已知三角函数值求角．
2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．
3．已知三角函数值，会使用计算器求角．
[填一填]
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsiny.
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccosy(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
3．已知正切值，求角
如果正切函数y＝tanx(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y，记作x＝arctany.
[答一答]
1．如何理解反正弦函数？
提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于y的角，原因是是函数y＝sinx的一个单调区间，对于每一个可能的值y(|y|≤1)，在这个区间上都有唯一的x值和它对应；反之，对于上每一个x的值，在区间[－1,1]上都有唯一的y值和它对应，因此，函数y＝sinx在上存在反函数，并且把这个反函数记为x＝arcsiny，因此它的定义域为[－1,1]，值域为.
(2)要熟练地记住下列特殊的y值对应的角，arcsin＝±；arcsin＝±；arcsin＝±等．对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如sinx＝时，x＝arcsin，
若sinx＝－时，x＝arcsin＝－arcsin.即y＝arcsinx表示内的一个角．
2．怎样由三角函数值求角？
提示：已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当三角函数值不是1或0时，可以分为以下几步来解决：
第一步，确定角x可能是第几象限角．确定的方法有两种：一是借助单位圆运用三角函数线来判断，根据已知的三角函数值，画出相应的三角函数线．二是借助三角函数的图像来思考．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出(0,2π)内对应的角．如果是第二象限角，那么可表示为－x1＋π，如果是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π.
第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．
具体见下表：
