2013年高三数学一轮复习 第六章第7课时知能演练轻松闯关 新人教版
1. 求证：n3＋5n(n∈N*)能被6整除.
证明：(1)当n＝1时, n3＋5n＝6能被6整除;
(2)假设当n＝k(k≥1, 且k∈N*)时, k3＋5k能被6整除.
则当n＝k＋1时,
(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.
由假设知k3＋5k能被6整除, 而3k(k＋1)、6也能被6整除, ∴(k＋1)3＋5(k＋1)也能被6整除.
由(1)(2)可知, 命题对任意n∈N*都成立.
2. 设f(x)＝2xx＋2, x1＝1, xn＝f(xn－1)(n≥2, n∈N＋).
(1)求x2, x3, x4的值;
(2)归纳并猜想{xn}的通项公式;
(3)用数学归纳法证明你的猜想.
解：(1)x2＝f(x1)＝23, x3＝f(x2)＝2×2323＋2＝12＝24, x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25.
