1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最大值．
2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．
若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．
(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明： ＜ ＜ ．
难点2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题
1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，
(1)求f(x)的表达式；
(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．
【答案】(1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]
f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax
得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])
